Lung-Yu,Tsai 的部落格

傅立葉轉換在2014年的"如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那 就过来掐死我吧【完整版】(連結)"的文章中有蠻清楚的解釋。

以下擷取其對訊號的說明，結合些許數學式從不同的角度了解傅立葉轉換:

首先須了解到傅立葉級數可以分析週期性訊號(Periodic)，而傅立葉轉換可以分析非週期性訊號(Not Periodic)以及週期性訊號(Periodic)。

而傅立葉轉換是建立在傅立葉級數的觀念之上，因此以下先針對傅立葉級數的重要觀念進行簡單講解。

在進行分析之前需先了解訊號的基本定義，首先了解sin波的定義如下圖:

而假定在真實情況中有一個週期性訊號，可以將其想像為始終再轉的的圓形。

由下圖可以發現，右邊為取的得真實訊號。可以發現是由左邊的數學式所組成，如何透過訊號分析將每個sin/cos波分離出來進行分析即是傅立葉分析。

在進行傅立葉分析之前首先需要具備傅立葉級數合成(Fourier Synthesis)和正交性質(Orthogonality)兩個重要觀念:

1. 傅立葉級數合成(Fourier Synthesis):

傅立葉合成就是將多個訊號進行合成，其數學式如下:

2. 正交性質(Orthogonality)

透過正交性質可以分析訊號,以下舉例說明:

假定有一函數f(t)如下式:

目標是要分析1Hz的訊號，其資訊如下式:

根據正交性質進行積分:

※若欲求得k倍頻的複利葉級數係數，就將訊號乘上k倍頻積分一個週期除以一個週期※

得到傅利葉積分公式如下:

分析特定訊號的傅立葉係數公式如下:

傅立葉分析(Fourier Analysis):

以下透過案例分析了解傅立葉分析方法。

已知週期性訊號為x(t)，對其進行傅立葉分析:

由上述推倒可以知道各個複利葉係數:

傅立葉轉換:

※雖然傅立葉級數無法分析非週期性訊號，但是可以將所有訊號的週期假設其週期為無窮大，因此就可以認為所有訊號都是週期性訊號進行分析※

然後根據歐拉公式,將離散的時域的資訊無損的轉換到頻域的空間之中.

同時複利業轉換將時間設置為無窮大，因此可以將訊號視為週期性訊號.利用複利葉級數分析法分析資訊.